 루나불독2025-04-23 03:11
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[꼬맹이] 라마트라님을 찬양하라!
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[꼬맹이] 라마트라님을 찬양하라!
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[꼬맹이] 라마트라님을 찬양하라!
1. 분수로 생각해보자
우선, 1/3 = 0.333... 이거 알지?
그럼
3 × (1/3) = 1
3 × 0.333... = 0.999...
즉, 0.999... = 1 이 되는 거야.
---
2. 간단한 식으로 증명
x = 0.999... 라고 해보자.
그럼
10x = 9.999...
이제 이 두 식을 빼보면:
10x - x = 9.999... - 0.999...
9x = 9
x = 1
근데 x = 0.999... 였으니까
0.999... = 1
---
3. 0.999...는 1에 '한없이 가까운' 수가 아님
"거의 1인데 살짝 모자란 거 아냐?" 이렇게 생각할 수 있는데
0.999...는 무한히 계속되는 숫자라서 더 이상 차이가 없다는 뜻이야.
어떤 유리수든 1 - 0.999... 보다 작을 수가 없어.
즉, 실수 체계에서는 1이랑 완전히 같은 값이야.
9.9999...= 10x
10x - x = 9.9999... - 0.9999...
9x = 9
x = 1
1과 0.9999...사이에 숫자가 없다는거 거짓말임
잘찾아보면 기둥뒤에 공간있음
혹시 대머리...?
0.999...9=0.999...8이 될꺼고
이걸 무한히 반복하면
1=0이되고
또 무한번 반복하면
무한=0이됨
0.9999...가 x라면 x는 불변하는 수임
이렇게 생각하고나면 0.99...=/1이라는 주장을 만박할 수 있음
0.3333...x3=0.9999...
따라서 0.9999...=1
이걸 선으로 나타냈을때 0.99999...와 1 사이의 거리차이가 없기때문에 0.999...=1이라고 보는거에요
수열 Sn = 0.9 + 0.09 + ••• + 9 * 10^-n 으로 나타낼 수 있음. (n->무한대)
1과 Sn의 차이는
1 - Sn = 10^-n
이걸 n->무한대로 보내도 일단 0이 되므로 1 = Sn이 됨.
하지만 이건 수학적으로 엄밀하지 않으므로 엡실론-N 논법 사용.
Sn과 1이 같다, 즉 차이가 0임을 보이고 싶다면 수학적으로는 |Sn - 1|, 즉 두 수의 차이가 임의의 어떤 양수보다 작다는 것을 증명하면 됨.
여기서 임의의 어떤 양수를 수학에서는 엡실론(ϵ)을 사용. 즉,
|Sn - 1| < ϵ
위에서 1 - Sn을 구했으므로
10^-n < ϵ
양변에 로그를 취하면
-n < logϵ
n > -logϵ
N = ceil(-logϵ) 이라 하면 (ceil은 천장함수 = 어떤 수보다 크거나 같은 최소 자연수)
N 은 항상 -logϵ보다 크거나 같으므로
n >= N이면 항상 n > -logϵ가 성립
즉, 어떤 자연수 N에 대해 n>=N이면 |Sn - 1| < ϵ이 성립하므로
0.999••• = lim n->inf Sn = 1