엘청플랑
2024-07-04 11:27
조회: 410
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수열 문제풀이문제) 수열 aₙ이 aₙ₊₂ - 4aₙ₊₁ + 5aₙ = 0을 항상 만족하고,
a₁=1, a₂=4라면, 수열 aₙ의 일반항은? 풀이) α+β = 4, αβ = 5라고 가정하면 aₙ₊₂ - 4aₙ₊₁ + 5aₙ = aₙ₊₂ - (α+β)aₙ₊₁ + αβaₙ = 0 이를 적절히 바꾸면 i) aₙ₊₂ - αaₙ₊₁ = β(aₙ₊₁ - αaₙ) ii) aₙ₊₂ - βaₙ₊₁ = α(aₙ₊₁ - βaₙ) 로 바꾸어진다. i)식에서 bₙ = aₙ₊₁ - αaₙ라 하면, b₁ = a₂ - αa₁ = 4 - α = β bₙ₊₁ = βbₙ → bₙ = βⁿ⁻¹b₁ = βⁿ 따라서 aₙ₊₁- αaₙ = βⁿ 마찬가지로 ii)식도 동일하게 풀면 aₙ₊₁ - βaₙ = αⁿ 두 식을 연립하면, aₙ = (βⁿ - αⁿ) / (β - α) α + β = 4, αβ = 5를 풀면 α, β = 2 ± i 이므로 aₙ = [(2 + i)ⁿ - (2 - i)ⁿ ] / 2i 대충 대입 논술시험 난이도
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