[계량재련학] Chapter 1. 장기백에 대한 이해

             

첫 글이 인증 게시물이 될 줄 몰랐는데..

너무 감사합니다~!

열심히 노력해서 Chapter 2, 3 계속 써보도록 하겠습니다.

감사해요 

카단 서버 화이팅!

[만남의지평선] 길드 화이팅!

계량 (Quantitative) 재련학

Chapter 1.

장기백에 대한 이해

          ■  서문

             제목이 Chapter 1 이지만, Chapter 2나 3는 언제 나올지 모릅니다.

             대략적인 주제는 생각해둔 것들이 있는데, 본업이 얼마나 바쁘냐에 따라 다를것 같아요...

             본문 내용과 관련해서 궁금하신 주제가 있다면, 제안주셔도 좋습니다!

             가독성을 위해, PC에서 읽기 좋게 설정되어 있습니다.

             이미지가 꽤 있어서, 모바일은 조금 불편하실 수도 있습니다. 

             긴 글 읽어주셔서 미리 감사드립니다.

  I.  개요 및 요약

로스트아크의 아이템 재련은 유저 입장에서 매우 직관적이고 깔끔하게 구성되어 있습니다.

장비가 파괴되거나, 성공 및 실패 횟수에 의해 아이템의 포텐셜이 조정되는 등의,

일반적인 악독한 RPG 게임에서 흔히 볼 수 있는 요소를 가지고 있지 않습니다.

오히려 장인의 기운이라는 시스템이 존재해서,

어쩌면 타 게임이었다면 무한히 재련하고 있었을 상황을 막아주고 있을지도 모를 일입니다.

그러나 역설적으로, 이러한 시스템의 등장으로 우리는 자주 장기백을 마주합니다.

"옆집 누구는 원트만에 성공했다던데 나는 왜 매일 장기백일까" 라는 생각을 들게 합니다.

그래서, 흔히들 장기백을 마주하게 되면, 스스로 운이 없었다고 평가합니다.
그러나, 과연 정말로 확률적으로 일어나기 힘든 상황이 발생한 것일까요?
결론부터 말씀드리자면, 특별히 운이 없는 상황이 아닙니다.
오히려, 자주 보는 것이 정상입니다.

다들 직관적으로 알고 계시겠지만,

장기백이 아니었으면 무한 트라이하는 상황을, 장기백이 막아준 것뿐입니다.

본 글에서는, 재련 성공을 위해 필요한 트라이 횟수 산출 방법론과 산출된 결과물에 대한 고찰을 다룹니다.

표와 그래프를 최대한 활용하여 모두가 이해하실 수 있도록 최대한 풀어서 설명하려 노력하였습니다.

다만, 본 글은 추천 재련 방법이나 최적 재련 루트에 대한 글이 아닙니다.

단지, 현재 로스트아크 내 재련 시스템에 대한 이해와 더불어,

지금까지의 재련 운을 스스로 체크해볼 수 있는 자료 작성을 목적으로 쓰여졌습니다.

(추후에는, 해당 시뮬레이션 자료를 바탕으로 각 재련 구간별 필요한 재료를 시뮬레이션을 통해 산출해보려 합니다.)

(아직 작업중에 있어, 언제 가능할지는 모르겠습니다..)

  II.  사전 지식

본 글을 제대로 이해하기 위해서는 조금의 사전 지식을 필요로 합니다.

현재, 로스트아크에는 두 가지의 재련 확률 보정 시스템이 존재합니다.

(1) 실패 후 재련 확률 보정 및
(2) 장인의 기운

 

■  실패 후 재련 확률 보정

실패 후 재련 확률 보정이란,

재련을 실패할 때마다 그 다음 회차의 재련확률에 기본 재련 확률의 10%에 해당하는 수치가 추가되는 것을 의미합니다.

이 수치는 최대 10번까지 채워집니다.

예를 들어, 기본 재련 확률이 5.0%인 상황에서 실패하게 되면, 그 다음 회차의 재련 확률은 5.5%가 됩니다.

한 번 더 실패하게 되면 6.0%가 됩니다.

이 과정은 최대 10번 반복되어 10회 실패 이후 재련 확률은 10.0%가 되고,

이 이후로는 재련이 실패하더라도 더 올라가지 않습니다.

마찬가지로, 기본 재련 확률이 3.0%라면, 3.3%, 3.6%, 3.9% … 6.0%의 재련 확률 보정을 겪게 됩니다.

이는, 기본 재련 확률이 매우 높은 구간에서도 마찬가지로 적용되는 룰입니다.

예를 들어, 60% 다음은 66%, 72%와 같은 형태입니다.

 

■  장인의 기운

일명 장기백이라 불리우는 시스템입니다.

현재 “시도하는 재련 확률”의 46.5% 에 해당하는 값이 다음 재련 시 장인의 기운에 추가됩니다.

여기서, “시도하는 재련 확률”이란,

기본 재련 확률을 의미하는 것이 아니라 보조 재료 (은총, 축복,가호, 야금술 등) 이 모두 적용된 값입니다.

위의 "실패 후 재련 확률 보정" 값도 모두 포함되어 계산됩니다.

예를 들어, 기본 재련 확률이 10%이고, 은총, 축복 및 가호를 활용하여 추가 재련 확률 10%를 부여했다면,

실패 시 장인의 기운에 (10% + 10%) * 0.465 = 9.3% 가 추가됩니다.

여기서 0.465 라는 값은 재련 단계에 따라 변하지 않는 고정값 입니다.

뜬금없는 0.465 라는 값은 스마게 내부의 재련 시뮬레이션을 통해 결정된 하드코딩 값으로 생각됩니다.

즉, 수치 자체에 특별한 의미가 있다기 보단 재련에 필요한 재화 수요 및 공급 조절을 위해

인위적으로 설정된 값으로 추정됩니다.

이렇게 추가된 장인의 기운은, 100%를 달성할 시 다음 회차 트라이는 100%의 확률로 재련에 성공합니다.

이 시스템은 재련 초기 단계에는 아무런 의미가 없으나,

기본 재련 확률이 매우 낮은 단계에서 재련 비용을 획기적으로 줄여줍니다.

다시 말해, 최대 트라이 횟수를 지정해주는 시스템입니다.

아무리 운이 없더라도, 각 재련 단계에 해당하는 최대 트라이 횟수에도 달하게 되면 반드시 재련에 성공합니다.

즉, 어쩌면 무한히 시도해야 할 수 있는 재련에 대해, 하방 위험을 막아주는 장치라고 말할 수 있겠습니다.

 

■  수리적, 통계적 사고

본 글을 이해하기 위해서는 약간의 수리적 및 통계적 사고를 필요로 합니다.

일단, 고교 정규 교육 과정의 수학만 알고 있으면 됩니다.

다만, 본 글에 나오는 시뮬레이션을 직접 해보시거나,

이를 확장하여 비슷한 주제를 다뤄보려면 적당한 프로그래밍 지식이 필요합니다.

(같이 협업해서 이런 Personal 프로젝트를 해보고 싶으시면 연락주세요!)

(혼자 작업하다 보니, 검수가 부족합니다ㅠ)

다음 장에서 산출되는 트라이 횟수 분포를 바탕으로 다양한 분석을 할 수 있습니다.

이 중 집중해서 살펴보고자 하는 것은 다음과 같습니다.

(1) 평균 트라이 횟수
(2) Nth Percentile (백분율), N=5, 15, 25, 50, 75, 85, 95

따라서, 기초적인 통계적인 지식 또한 필요로 합니다.

예를 들어, “평균”은 말 그대로 평균 수치입니다.

(3, 3, 3)도 (2, 3, 4)도 (1, 3, 5)도 모두 평균은 3인 숫자들입니다.

평균 이하의 값이 존재하면, 평균 이상의 값도 존재합니다.

그리고, 그 수치가 얼마만큼 벌어져 있는지는 주어진 문제의 상황에 따라 다릅니다.

일반적으로는 샘플값들이 얼마나 산개되어 있는지 보기 위하여 Variance 등을 확인하지만,

우리의 재련 문제는 운에 따라 매우 넓은 분포를 가지고 있으며 (특히 기본 성공 확률이 낮은 구간에서),

장기백 시스템으로 인하여 극단값의 빈도가 다소 높은 특이한 분포를 가지고 있으므로,

본 글에서는 Nth Percentile 에 초점을 맞추어 분석을 진행하였습니다.

  III.  기대 트라이 횟수 산출

■  개요

위에서 살펴보았듯이, 현재 로스트아크 내에는

(1) 실패 후 재련 확률 보정 및
(2) 장인의 기운

의 두 시스템이 존재합니다.

본 장에서는 이 두 시스템의 존재 하에서,

우리가 시도해야 할 트라이 횟수에 대한 기대값 및 분포를 산출해보겠습니다.

위 두 시스템은 획기적으로 평균 트라이 횟수를 줄여줍니다.

반면 동시에, 장인의 기운 100%의 상황에 많이 노출되게 만듦으로써,

마치 우리가 운이 매우 없는 사람인 것처럼 인식하게 만들어줍니다.

그러나 사실은,

특별히 운이 나쁜 것이 아니라 빈번하게 관찰되는 현상

임을 설명드리려 합니다.

다시 말해, 일반적인 인식과 다르게 장기백을 접하게 될 확률이 꽤 높습니다.

■  산출 방법 예시 (기본 재련 확률 15%)

기본 재련 확률이 15%인 경우의 예시를 살펴봅시다.

여기서, 보조 재료 (은총, 축복, 가호, 야금술, 단조술 등) 는 활용하지 않음을 가정합니다.

회차에 따른 조건부 재련 확률 (Conditional) 및

해당 회차에서 재련이 비로소 성공하는 사건이 발생하는 확률 (Unconditional) 을

표로 나타내면 다음과 같습니다.

위의 표에 대한 부가 설명 입니다.

“N트 조건부 성공 확률”이란,

이미 N회차의 트라이 상황이 주어졌음을 가정하고 해당 상황에서의 재련 성공 확률을 의미합니다.

즉 예를 들어, 세 번째 트라이를 시도함을 가정하면, 이는 첫 번째 및 두 번째 트라이가 모두 실패하였음을 의미하므로,

실패 후 재련 보정을 받은 15% + (15% * 0.1 * 2) = 18%의 확률이 적용됩니다.

“N트 만에 성공 확률”이란

전체 경우의 수 내에서

N회차의 트라이 상황이 주어지는 상황의 확률과 해당 상황에서 트라이가 성공하는 확률을 곱한 값을 의미합니다.

즉,우리가 재련을 시도할 때 N회차 이전에 성공하는 것이 아닌, 기어코 N회차에서 비로소 성공할 확률을 의미합니다.

“N트 이하로 누적 성공 확률”이란 “N트 만에 성공 확률”의 누적 수치입니다.

예를 들어, 최대 세 번째 트라이까지 수행한다면, 41.80%의 확률로 재련에 성공합니다.

“장인의 기운”이란, 현재 재련 단계에서 누적된 장인의 기운 수치를 의미합니다.

예를들어, 위의 표에서 세 번째 트라이 회차의 장인의 기운 수치는 14.65%이며,

이는 첫 번째 및 두 번째 트라이 시 실패함으로써 얻은 장인의 기운 수치입니다.

11번째 트라이에서는 10번째 트라이 실패까지 누적된 장인의 기운이 100%에 도달함으로써,

무조건 재련에 성공하게 됩니다.

따라서, “N트 조건부 성공 확률”은 100%로 표기하였으며,

“N트 만에 성공 확률”은 100%에서 이전 회차의 누적 사건 발생 확률 수치를 모두 차감해준 수치입니다.

당연히 “N트 이하로 누적 성공 확률”은 100%가 됩니다.

평균 트라이 횟수는 몇 회일까요? 다음의 식으로 구할 수 있습니다.

1 * 0.1500 + 2 * 0.1402 + 3 * 0.1278 + ... + 11 * 0.848 = 4.85

즉, 평균적으로 약 4.85회의 트라이 이후 재련에 성공하게 됩니다.

■  고찰

앞 절에서, 기본 재련 확률이 15%인 경우에 대하여,

각 트라이 회차별 성공 확률과 누적 성공 확률을 표로 살펴보았습니다.

좀 더 직관적인 이해를 위해, 이를 그래프로 나타내보겠습니다.

첫 번째 그래프는 N회차의 트라이 만에 재련에 성공할 확률입니다.

두 번째 그래프는 N회차 내에 재련에 성공할 확률입니다.

즉, 두 번째 그래프는 첫 번째 그래프의 누적값 입니다.

앞 절의 재련 표에서 볼 수 있듯이,

장인의 기운 시스템으로 인하여 11번째 트라이에서는 무조건 재련에 성공합니다.

즉, 장인의 기운 시스템이 없는 상황에서 11번 이상의 트라이는 모두,

장인의 기운 시스템이 있는 상황에서의 11번째 트라이로 합산되어 귀결됩니다.

따라서,

11번째 트라이 발생 확률, 즉 장기백을 보는 확률은 전체 사건 대비 8.48%로 꽤 높은 편입니다.

수치를 살펴보면,

전체 사건에서 9~10번째 트라이에서 성공하는 확률의 합산이,

11번째 트라이인 장기백 발생 확률 보다 낮습니다.

다시 말해, 많은 사람을 모아두고 관찰하는 상황을 가정하면,

   (1) 9~10번째 트라이 때 성공하는 사람 수의 합
   (2) 장인의 기운을 꽉 채워서 11번째 트라이에 성공하는 사람 수의 합

중 (2) 가 더 크다는 뜻입니다.

장기백을 마주하는 확률은 우리의 직관보다 높습니다.

  IV.  재련 단계별 장기백 확률

■  나의 재련 운 (Luck) 테스트

앞 장에서는,

주어진 기본 재련확률 15%에 대하여 기대 트라이 횟수를 산출하는 방법 및 해석하는 방법을 서술하였습니다.

다음의 표는,

마찬가지의 방법론을 활용하여,

다른 기본 재련확률 (60%, 45%, 30%, 15%, 10%, 5%, 3%, 1%, 0.5%) 에 대하여

운 (Luck) 의 백분위 (Percentile) 에 따른 트라이 횟수를 나타낸 것입니다.

운 (Luck) 의 Nth 백분위 (Percentile) 는,

N = 5, 15, 25, 50, 75, 85, 95 에 대하여 표기하였습니다.

                               ▲ 운 (Luck) 백분위에 따른 재련 트라이 횟수

             표를 해석하는 방법은 다음과 같습니다.

             예를 들어, 내 장비의 기본 재련 확률이 15%라고 가정합시다. 이 경우,

                           나의 운이 상위 5%라면, 1트만에 성공합니다.
                           나의 운이 상위 15%라면, 1트만에 성공합니다.
                           나의 운이 상위 25%라면, 2트만에 성공합니다.
                           …
                           나의 운이 상위 85% (또는, 하위 15%)라면, 9트만에 성공합니다.
                           나의 운이 상위 95% (또는, 하위 5%)라면, 11트만에 성공합니다.

기본 재련 확률이 1% 인 구간에서,

운이 좋은 상위 5%는 8트 이하로 재련에 성공하고,

운이 나쁜 하위 5%는 무려 219트 이상의 시도로 재련에 성공하네요....

다음 절에서는, 주어진 기본 재련 확률 (10%, 5%, 3%) 에 대하여,

N회차 트라이만에 재련이 성공할 확률 및 그에 따른 누적 성공 확률을 그래프로 살펴보겠습니다.

아래의 결과는 모두 보조 재료 (숨결, 야금술 등) 를 활용하지 않음을 가정합니다.

글의 가독성과 공간 활용을 위하여,

60%, 45%, 30% 및 1%, 0.5% 의 기본 재련 확률 구간에 대한 표와 그래프는 생략하였습니다.

60%, 45%, 30% 는 장기백을 보더라도 재화 소모가 적으며,

1%, 0.5%는 극히 일부의 싸장님들에게 해당되는 내용이고, 다수의 관심사가 아니라고 판단했습니다.

다만 그래도, 장기백을 마주할 확률은 마지막에 따로 정리해두었습니다.

■  예시 : 기본 재련 확률 10%

1302 레벨 제한 아이템 (차원, 저녁, 노을 등) 기준 +15, +16, +17강 및
1340 레벨 제한 아이템 (선택, 예정, 냉혹 등) 기준 +15, +16, +17강

에 도달하기 위한 기본 재련 성공 확률은 10% 입니다.

15트는 장기백입니다.
8.50%의 확률로 장기백을 마주하게 됩니다.

평균 트라이 횟수는 6.64회 입니다.

■  예시 : 기본 재련 확률 5%

1302 레벨 제한 아이템 (차원, 저녁, 노을 등) 기준 +18, +19강 및
1340 레벨 제한 아이템 (선택, 예정, 냉혹 등) 기준 +18, +19강

에 도달하기 위한 기본 재련 성공 확률은 5% 입니다.

26트는 장기백입니다.
9.69%의 확률로 장기백을 마주하게 됩니다.

평균 트라이 횟수는 11.44회 입니다.

■  예시 : 기본 재련 확률 3%

1302 레벨 제한 아이템 (차원, 저녁, 노을 등) 기준 +20, +21강및
1340 레벨 제한 아이템 (선택, 예정, 냉혹 등) 기준 +20, +21강

에 도달하기 위한 기본 재련 성공 확률은 3% 입니다.

40트는 장기백입니다.
10.65%의 확률로 장기백을 마주하게 됩니다.

평균 트라이 횟수는 17.47회 입니다.

■  정리 : 각 재련 단계별 장기백을 마주하게 될 확률

앞 절에서는, 각 재련 단계별 (15%, 10%, 5%, 3%) 장기백을 마주할 확률을 도출했습니다.

이를 그래프로 다시 정리해보겠습니다.

(60%, 45%, 30%, 1%, 0.5% 에 대한 결과도 포함하였습니다.)

  V.  재련 구간별 장기백 확률

■  개요

본 장은,

특별한 Implication 이 없는, 단순히 흥미 위주의 주제입니다.

앞서 살펴본 III. 기대 트라이 횟수 산출 및 IV. 재련 단계별 장기백 확률이 본 글의 주 내용이라 보시면 되며,

아래의 내용은 단순히 "재련 과정을 거치면서 장기백을 안 보는 사람도 있을까?" 라는 질문에서 출발한 것입니다.

앞 장에서는, 재련 확률에 따른 장기백을 마주하게 될 확률을 산출하였습니다.

중요한 것은, 그 모든 사건들은 독립 시행입니다.

다시 말해, 내가 현재 재련 단계에서 장기백을 봤다고 해서,

그 이후의 단계에서 장기백을 볼 확률이 줄어들거나 늘어나지 않습니다.

따라서, 일련의 재련 과정에서 장기백을 마주할 확률을 구하는 것은 매우 간단한 문제입니다.

운이 정말 좋은 사람이라면, 장기백을 한 번도 마주하지 않을 수 있을까요?

본 장에서는. 일련의 재련 과정에서 장기백을 한 번도 마주하지 않을 확률을 도출해보겠습니다.

장기백을 한 번 보는 것, 두 번 보는 것 등은 모두 그 나름의 의미가 있겠으나,

아래의 도출 방법과 유사하게 구할 수 있는 것이므로 글의 전달력을 위해 생략하겠습니다.

■  예시

+6강의 상태에서 +9강을 가는 상황을 가정해봅시다.

앞서 언급한 것처럼, 모두 독립적인 사건입니다.

따라서,

P (장기백을 한 번도 마주하지 않을 확률)

= (+6강 -> +7강 장기백을 마주하지 않을 확률 ) *

    (+7강 -> +8강 장기백을 마주하지 않을 확률 ) *

    (+8강 -> +9강 장기백을 마주하지 않을 확률 )

= (1 - 0.0084) * (1 - 0.0196) * (1 - 0.0584)

= 91.54%

즉, 반대로 이야기하면,

8.46%에 해당하는 사람들이 이 구간의 재련에서 장기백을 마주하게 됩니다.

해당 구간의 재련 확률이 각각 60%, 45%, 30% 임을 감안하면 꽤 높은 수치입니다.

우리는 재련을 시도하기 전에는 특별히 운이 없는 사람이라고 생각하지 않으니까요.

■  재련 구간별 "최소 한 번 이상의 장기백을 마주할 확률" (장비 1종)

대표적인 재련 구간에 대해 표로 정리해보았습니다.

유의해야할 것은 아래의 표는 "장비 1종" 에 대한 확률입니다.

실제로 우리는 “무기 및 방어구 총 6종” 에 대하여 재련을 해야 합니다.

■  재련 구간별 "최소 한 번 이상의 장기백을 마주할 확률" (장비 6종)

실제로 아이템 레벨을 올리기 위해서는 무기 및 방어구 5종,

총 6종의 아이템 레벨을 골고루 올려야 합니다.

최적 재련 루트가 존재하긴 하지만,

공컷이 없어진 군단장 레이드 및

+15강 이상 에서의 무기 공격력 상승량 증가 패치로 인하여

무기와 방어구 모두 골고루 올리는 것이 필수가 되었습니다.

따라서, “총 6종의 장비 모두” 에 대해 “최소 한 번 이상의 장기백을 마주할 확률” 을 구하였습니다.

+6 --> +15 강의 재련에서는 운이 좋은 3.4% 만이 단 한 번도 장기백을 마주하지 않습니다.

+6 --> +19 강의 재련에서는 운이 좋은 0.34% 만이 단 한 번도 장기백을 마주하지 않습니다.

우리는 특별히 재련운이 없는 것이 아니에요!

+6 --> +25 강의 재련에서는 표기는 99.99%로 되어있지만, 실제로는 거의 100.00% 입니다.

(표기 때문에 오해의 소지가 있을까 하여, 99.99%로 표기하였습니다)

유의해야 할 것은, 장기백을 마주하지 않았다고 해서 운이 좋은 것이 아닙니다.

장기백 직전에 재련에 성공한 것은 포함이 되어 있지 않으니까요.

  VI.  결론

각 재련 확률별 장기백을 마주할 확률 그래프를 참고하시면,

생각보다 꽤 많은 사람들이 장기백을 마주하고 있음을 알 수 있습니다.

재련은 결국 확률의 영역이기 때문에,

시도 횟수가 많아질수록 결국 평균에 수렴하게 되어 있습니다.

게임 원투데이 할 것 아니잖아요?

그리고, 장기백을 보았다고 너무 낙담하지 맙시다.

사실 기백이는 우리의 편이거든요.

기백이는 다음 트라이 때 원트라도 할 수 있게 해줍니다.

기백이가 아니었으면 우리의 아이템 레벨은 더 낮았을 거에요..

산식에 오류가 있거나,

궁금하신 사항이 있다면,

댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다.