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제목에도 언급했듯이 매우 수학적인 글입니다.
물론, 고등학교까지의 수학과정을 꼼꼼하게 공부했고, 기억을 하고있다면 어렵지는 않을 것입니다.
하지만 대부분은 1줄정도 읽고 스크롤을 내리거나 혹은 뒤로가기를 할것이라 예상됩니다ㅜㅜ

그래서 미리 요약을 해 놓았습니다.

더 흥미(?)가 있으시다면, 읽어보셔도 좋습니다.

미리 요약 : 

1:10은 특정 조건에서만 성립하는 것이며,
같은 원리를 이용하면 1:9가 최적이 되는 특정조건도 있고
또 같은 원리를 이용하면 1:8이 최적이 되는 특정조건도 있고
또 같은 원리를 이용하면 1:11이 최적이 되는 특정조건도 있다

결국 1:10은 무의미하다.

1:10이 의미를 가진다면,
같은 원리로 1:9, 1:8, 1:11등 모든 값이 의미를 가진다.

정말로 변하지않는 "의미가 있는것"은 극확*극피 뿐이다.








여기부터 시작합니다.


아, 편의상 평어체(라고 쓰고 반말이라고....읽죠...)로 작성하였습니다. 양해부탁드립니다.





우선 극대화 데미지에 대한 기댓값을 구하면 다음과 같다.
(a의 확률로 1+b의 데미지를, 1-a의 확률로 1의 데미지를 주는 상황에 대한 기댓값을 구한 것)

극대화확률=a
극대화피해=b
기댓값=a*(1+b)+(1-a)*1=1+a*b

결국 a*b가 클수록 극대화 데미지의 기댓값이 커진다.
따라서 앞으로는 a*b의 값이 최대가 되는 조건을 찾으면 된다.




여기서 사용되는 개념은, 고등학교때 배우는 [산술평균&기하평균의 절대부등식]이다.

이게 뭐냐면,
두개의 양수(0보다 큰 실수) x와 y에 대하여 아래의 부등식이 항상 성립한다는 것이다.
(x+y)/2 >= (x*y)^0.5, 등호의 성립 조건은 x=y일때임
(루트를 표현하기 어려워 [^0.5]로 대체함)

이를 응용하여, 아래과 같은 활용을 할 수 있다.
x+y=k를 만족하는 두 양수 x, y에 대하여 x*y의 최댓값을 구해보면,
산술기하절대부등식에 의해 x*y의 최댓값은 (k/2)^2으로 나오고, 그때 x=y=k/2 이다.




저 관계식을 이용하여 극확*극피의 최댓값을 찾으려 하는데

결국 대부분의 사람들이 x=y일때 x*y가 최대가 된 것 처럼
[극확=극피]일때 최대가 될 것이라고 말하며
여기서 극확=극피는 비현실적이기에 [극확*10=극피]일때 최대라고 말한다.




하지만, 저 내용은 완벽한 증명이 아니며,
사람들이 직관으로 말하는 [극확*10=극피일때]라는건 아래와 같이 나온다.

우리가 구하고자 하는 것은 a*b의 최댓값이다.
a*b가 최댓값을 가질 때, 10*a*b도 최댓값을 가진다.
따라서 10*a*b의 최댓값을 구함으로써 a*b의 최댓값을 구할 수 있고
여기에 산술기하절대부등식을 이용하면 아래와 같이 표현될 수 있다.

위에서 언급한

x+y=k를 만족하는 두 양수 x, y에 대하여 x*y의 최댓값을 구해보면,
산술기하절대부등식에 의해 x*y의 최댓값은 (k/2)^2으로 나오고, 그때 x=y=k/2 이다

여기에 x=10*a, y=b를 대입하여 변형하면

10*a+b=k를 만족하는 두 양수 10*a, b에 대하여 (10*a)*b의 최댓값을 구해보면,
산술기하절대부등식에 의해 (10*a)*b의 최댓값은 (k/2)^2으로 나오고, 그때 10*a=b=k/2 이다.

따라서 10*a=b 일때 10*a*b가 최대가 되고, 결국 동일한 조건에서 a*b도 최대가 된다.

이 방법이 아니면, 극확:극피=1:10이 좋다는것은 증명되지 않는다.
사람들은 위 설명의 결론중 일부분인 [10*a=b 일때 a*b가 최대가 된다]를 널리널리 알리고 다녔다.




하지만, 위의 증명에는 매우 중요한 가정이 하나 숨어있다.
그것은 바로 [10*a+b=k를 만족하는 두 양수 10*a, b에 대하여] 이 부분이다.

무슨말이냐면,
[10*a+b=k를 만족하는 두 양수 10*a, b]를 만족하지 못한다면
[10*a=b 일때 a*b가 최대가 된다]는것은 틀린얘기라는 것 이다.

또한 [10*a+b=k를 만족] 이 조건을 설명해보자면,
[a가 1 커질때 b는 10 작아진다]는 것이다.

1:10을 주장하는 사람들이 가지고 오는 예시인
[50,500]이 [60,400]보다 좋다는 것이 저 조건을 만족하는 예시이다.

결국, 극확 극피가 1:10이 아닌 교환은 존재하지 않아야 비로소 1:10이 최적이라는 결론이 나온다.




그렇다면 저 조건을 만족시키지 못한다면 어떨까?
(이 예시는 최근 게시물에서 가져온 것이다. 결코 내가 억지로 만들어낸 것이 아님을 미리 밝힌다)

현재 극확이 62.5, 극피가 525이며, 반지에 극확6을 마부해서 만들어놓은 상황이고 극피는 없다.
이 상황에서 극확6을 극피50으로 바꾼다면 좋은것인가?

이에 대해 1:10을 믿는 사람들은 이렇게 말할 수도 있다.
[62.5:525]보다는 [56.5:575]가 1:10에 가깝기에 극확6 버리고 극피50을 만드는게 좋다.

하지만 여기에는 문제점이 있다.

a1=62.5, a2=56.5, b1=525, b2=575
10*a1+b1=k1, 10*a2+b2=k2

이렇게 식을 구성했을 때, k1과 k2는 다른값을 가지며
이럴 경우에는 산술기하절대부등식의 활용을 적용하면 안된다.
그럼에도 불구하고, 산술기하절대부등식의 결과인 [10*a=b 일때]를 주장한다면,
그것은 틀릴수도 있는 얘기가 되는 것이다.
(항상 틀리는 것은 아니며, 항상 맞는것도 아니다.)

실제로 [62.5:525]와 [56.5:575]의 경우에 기댓값을 구해보면,
[62.5:525]의 경우가 약간 좋게 나온다.




또 이러한 설명을 해 볼수도 있다.
앞에서 1:10의 증명을 아래와 같이 전개했다.

...전략...
10*a*b의 최댓값을 구함으로써 a*b의 최댓값을 구할 수 있고
...중략...
10*a+b=k를 만족하는 두 양수 10*a, b에 대하여
...중략...
10*a=b 일때 10*a*b가 최대가 되고
...후략...

이를 아래와 같이 바꿔볼 수 있다.

8*a*b의 최댓값을 구함으로써 a*b의 최댓값을 구할수 있고....
8*a+b=k를 만족하는 두 양수 8*a, b에 대하여...
8*a=b일때 8*a*b가 최대가 되고....

이렇게, 1:10을 증명하는것과 완벽하게 동일한 방법으로 1:8이 좋다는 것을 증명할 수 있다.
물론 전제조건이 붙는다. 8*a+b=k를 만족해야한다는 것이다.
(사실 처음부터 의문이지만, 이걸 증명이라고 해야하나 고민이다..)

여튼, 결과적으로는, 모든 N에 대하여 1:N이 최적이라는 것에 대한 증명을
1:10의 증명과 완벽하게 동일한 방법으로 해낼 수 있다!
(물론 모든 경우에 각각에 대한 전제조건이 필요하겠지만..)




결국 1:10은 그냥 깔끔하고 이뻐보이는 숫자일 뿐이고
적당히 템을 맞춘사람들은 아무리 극단적으로 잡아봣자
그들의 현재 극확 극피 비율이 1:5~1:15 이내에 존재하기 때문에
적당히 기억하기 쉬운 숫자인 1:10이 살아남았(?)을뿐이지
수학적으로는 전혀 의미가 없다는 것이다.

바꿔말하면, 산술기하절대부등식을 잘 모르는사람들이 어설프게 적용하여
x=y만 기억하고 x+y=k를 까먹어버리는바람에
x,y의 숫자만 유지하고 나름 현실적인 숫자로 바꾸기위해서
한쪽에 10을 곱하는 만행(?)을 저지른 것이다.
(우리가 10진수가 아니라 8진수를 사용했다면 8을 곱햇을지도 모른다.)

그렇다면 왜 10인가? 9는 비현실적인 숫자인가? 8은? 11은?
이에대한 답은 아무도 모른다.
1:10은 다른 비율들과 마찬가지로, 의미가 있을수도, 없을수도 있는 것이기 때문이다.




마지막 한줄 결론 : 극확과 극피의 비율이 1:10이 이상적이라는 것에는 수학적 근거가 전혀 없다.